LA CIRCUNFERENCIA

ORIGEN

La circunferencia es formada a partir de la intersección de un cono recto doble con un plano inclinado, el cuál es paralelo a la base del cono, como se muestra en la figura:

DEFINICIÓN

Se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

\( Circunferencia= \lbrace{P(x,y)|d(C,P)=r, r>0 }\rbrace \) con Centro: C(x₀ , y₀) 

Teniendo en cuenta la siguiente imagen podemos construir la expresión algebraica que representa a la circunferencia.

Por teorema de Pitágoras sabemos que los puntos P(x,y) deben cumplir con lo siguiente:

\( (x- \alpha)^2+(y- \beta)^2=r^2 \)

Que corresponde a la ecuación principal de una circunferencia con centro en \( C(\alpha, \beta) \) y radio r. Si el centro fuera el punto (0,0), entonces la ecuación quedaría:

\( (x- 0)^2+(y- 0)^2=r^2 \Rightarrow x^2+y^2=r^2 \)

La cual se denomina como ecuación canónica de una circunferencia.

Ahora, si desarrollamos los cuadrados de binomio de la ecuación principal nos queda lo siguiente:

\( (x- \alpha)^2+(y- \beta)^2=r^2 \Rightarrow x^2+2 \alpha x+ \alpha^2+y^2-2 \beta y+ \beta^2=r^2 \)

\( x^2+y^2-2 \alpha x-2 \beta y+( \alpha^2+ \beta^2+r^2)=0 \)

Luego, renombramos las constantes y nos queda:

\( x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \)

que es la ecuación general de una circunferencia.

Si hacemos este ejercicio a la inversa, es decir, pasar de una ecuación general a una ecuación principal debemos completar cuadrados de binomio para obtener todos los términos algebraicos que lo forman al desarrollarlo.

Hay que tener en cuenta que:

• Si \( r^2>0 \rightarrow \) es circunferencia.
• Si \( r^2=0 \rightarrow \) es un punto.
• Si \( r^2<0 \rightarrow \) conjunto vacío.