LA PARÁBOLA

ORIGEN

Se forma a partir de la intersección de un cono recto con un plano inclinado, el cual corta oblicuamente la base del cono, como se muestra en la siguiente imagen:

DEFINICIÓN

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (foco) y una recta r llamada Directriz. Esto es:

\( Parábola: P_a= \lbrace{P(x,y)|d(P,r)=d(P,F) }\rbrace \)

En definitiva, es un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geométrica, pero que no se limita a ser la gráfica de una función cuadrática.

A continuación, se muestra una representación gráfica de la cónica, donde podemos ver que, independiente de la posición del punto P, la distancia de éste a la directriz y al foco F es la misma.

Podemos observar en la imagen que la recta y=0 es eje focal o eje de simetría de la parábola, y que el punto (0,0) es su vértice, punto en el que cambia la dirección de la cónica.

ELEMENTOS

La ecuación que representa una parábola con vértice V(0,0), foco F(c,0) y directriz: x=-c es la siguiente:

\( y^2=4cx \)

Llamada ecuación canónica de la parábola. Donde se cumple que:

• Si \( c>0 \Rightarrow \) Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha. 
• Si \( c<0 \Rightarrow \) Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda.

Estas dos situaciones están representadas por la siguiente gráfica:

Luego, si permutamos variables sobre la expresión canónica de una parábola con eje focal horizontal podemos encontrar la expresión canónica para la parábola con eje focal vertical, que queda de la siguiente forma:

\( x^2=4yc \)

Donde el vértice será V(0,0), el eje focal x=0, el foco F(0,c) y la direcriz: y=-c, y se cumplirá que:

• Si \( c>0 \Rightarrow \) Las ramas de la parábola apuntan hacia arriba.
• Si \( c<0 \Rightarrow \) Las ramas de la parábola apuntan hacia abajo.

Estas dos situaciones están representadas por la siguiente gráfica:

Ahora, si trasladamos en el plano las parábolas correspondientes a cada una de las ecuaciones canónicas, obtendremos las siguientes ecuaciones principales: 

1. \( (y- \beta)^2=4c(x- \alpha) \), la cual tendrá como vértice \( V( \alpha, \beta) \) y un eje focal paralelo al eje x.
2. \( (x- \alpha)^2=4c(y- \beta) \), la cual tendrá como vértice \( V( \alpha, \beta) \) Y un eje focal paralelo al eje y.

Luego, si desarrollamos los cuadrados de binomio tenemos:

• Para 1: 

\( y^2-4cx-2 \beta y+ \beta^2+4c \alpha=0 \)

Renombramos los coeficientes y nos queda:

\( y^2+Dx+Ey+F=0 \)

La cual se conoce como ecuación general de la parábola con eje horizontal.

• Para 2:

\( x^2-4cy-2 \alpha x+ \alpha^2+4c \beta =0 \)

Renombramos los coeficientes y nos queda:

\( x^2+Dy+Ex+F=0 \)

La cual se conoce como ecuación general de la parábola con eje vertical.

LADO RECTO

El lado recto es la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje focal y pasa por el foco. Se puede demostrar que la longitud del lado recto es \( |4c| \). A continuación se observa la gráfica de este elemento, donde además podemos modificar la distancia c, entre el vértice y el foco, lo que afectará directamente a la longitud del lado recto.