LA HIPÉRBOLA

ORIGEN

Corresponde a la intersección de un cono recto doble con un plano el cual es perpendicular a las bases del cono, como se muestra en la siguiente figura:

DEFINICIÓN

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que, dado dos puntos fijos F₁ y F₂  (focos), el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.

\( H= \lbrace{P(x,y)| |d(P;F_1)-d(P;F_2)|=2a=cte }\rbrace \)

A continuación, se muestra la representación gráfica de esta cónica, donde se puede observar que el valor absoluto de la diferencia de distancias es constante.

Esto está condicionado por la siguiente restricción:

Si la distancia entre los focos es \( d(F_1,F_2)=2c \) \( \Rightarrow c>a>0 \)

\( \Rightarrow c^2>a^2 \)

\( \Rightarrow c^2-a^2=b^2 \)

\( \Rightarrow c^2=a^2+b^2 \)

ELEMENTOS

La ecuación que representa una hipérbola con centro en (0,0) y eje focal y=0 (eje x) es la siguiente:

\( \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 \)

La cual se denomina ecuación canónica de la hipérbola con centro (0,0) y eje focal y=0, y se deduce de la gráfica de forma similar que en la Elipse. Y su representación gráfica es la siguiente:

Ahora, si buscamos las intersecciones de la cónica con los ejes cartesianos obtenemos lo siguiente: 

\( y=0 \Rightarrow \left| x \right| =a \Rightarrow x= \pm a \Rightarrow V_1=(a,0); V_2=(-a,0) \)

\( x=0 \Rightarrow y^2=-b^2 \)

Donde V₁ y V₂ son vértices de la hipérbola y ésta no corta al eje y. Además, sabemos que \( F_1(-c,0) \) y \( F_2(c,0) \) son focos. Por otro lado, a  se denomina semieje real o transverso, b se denomina semieje imaginario y 2c es la distancia entre los focos. Aparece también un nuevo elemento que no existe en las demás cónicas, las asíntotas, las cuales tendrán como ecuación de la recta: \( y= \pm \frac{b}{a}x \).

Si en la ecuación canónica anterior permutamos x por y queda:

\( \frac{y^2}{a^2}- \frac{x^2}{b^2}=1 \)

Que es la ecuación canónica de una hipérbola con centro en (0,0) y eje focal x=0 (eje y). Su representación gráfica es la siguiente:

Ahora, si buscamos las intersecciones de la cónica con los ejes cartesianos obtenemos lo siguiente: 

\( x=0 \Rightarrow \left| y\right|=a \Rightarrow y= \pm a \Rightarrow V_1=(0,a); V_2=(0,-a) \)

\( y=0 \Rightarrow x^2=-b^2 \)

Donde V₁ y V₂ son vértices de la hipérbola y ésta no corta al eje x. Además, sabemos que \( F_1(0,c) \) y \( F_2(0,-c) \) son focos. Por otro lado, a se denomina semieje real o transverso, b se denomina semieje imaginario y 2c es la distancia entre los focos. Aparece también un nuevo elemento que no existe en las demás cónicas, las asíntotas, las cuales tendrán como ecuación de la recta: \( y= \pm \frac{a}{b}x \).

Para determinar si el eje focal es horizontal o vertical solo basta observar los coeficientes de cada variable: 

• Si el coeficiente de x² es positivo, sabemos que el eje focal es el eje x.
• Si el coeficiente de y² es positivo, sabemos que el eje focal es el eje y.

Para una hipérbola con centro en cualquier punto del plano cartesiano tenemos:

• La ecuación principal de una hipérbola con eje focal horizontal y centro en C(α ,β )  es:

• La ecuación principal de una hipérbola con eje focal vertical y centro en C(α ,β )  es:

\( \frac{(y- \beta)^2}{a^2}- \frac{(x- \alpha)^2}{b^2}=1 \)