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Quedaba en la teoría de conjuntos transfinitos un último elemento al que Cantor debía plantar cara, a saber, la naturaleza y status de los números cardinales transfinitos. Es curiosa la evolución que experimentó su pensamiento. Los cardinales transfinitos fueron los últimos en ser definidos rigurosamente o recibir notación especial. Es, en efecto, difícil reconstruir desde la claridad de la retrospectiva las obscuridades entre las que a ciegas Cantor tuvo que tantear su camino; hasta aquí he venido comentando su obra como si Cantor hubiese comprendido ya que la potencia de un conjunto podía ser entendida como número cardinal. De hecho, si bien Cantor había comprendido que es la potencia de un conjunto la que establece su equivalencia (o su no equivalencia) con otro conjunto cualquiera, inicialmente eludió toda sugerencia de que la potencia de un conjunto infinito pudiera ser considerada como un número.

UNA SUCESIÓN INFINITA DE CONJUNTOS, donde cada uno es mayor que el precedente, puede construirse tomando para cada conjunto dado el conjunto de todos sus subconjuntos. Podemos utilizar aquí una ingeniosa variante del método de diagonalización de Cantor para mostrar que, de suponer existente una correspondencia biunívoca  f   entre un conjunto cualquiera M  y el conjunto  N  de todos sus subconjuntos, siempre podemos construir un subconjunto S que carece de homólogo en la correspondencia, sea  f  la que fuere. Para comprender su construcción, tomemos el conjunto finito M  formado por un disco rojo, un disco azul y un disco verde. Este conjunto tiene ocho subconjuntos (contando entre ellos al conjunto vacío, , que carece de elementos). Definamos S como conjunto todos los elementos m de M que no sean miembros del subconjunto f (m) que les corresponde. Para el ejemplo de la ilustración superior, S contiene únicamente al disco azul. Puesto que S es subconjunto de M, y puesto que se supone que la correspondencia f es biunívoca, ha de existir algún elemento a perteneciente a M que se encuentre asociado con S, esto es, un elemento a para el cual f(a) sea idéntico a S. Ahora, o bien a es elemento de S, o bien no lo es. Si a es elemento de S, ha de serlo también de f(a), pues f(a) es igual a S; por otra parte, si a es elemento de S no puede serlo de f (a), en vista de cómo ha sido definido S. Por tanto, a no es elemento de S. Pero, de nuevo, si a no es elemento de S, por la definición de S, a tiene que ser elemento de f(a), y puesto que f(a) es igual a S, a tiene también que ser elemento de S. Así pues, sea cual fuere la situación de a, al suponer que el conjunto M puede ser, elemento a elemento, biunívocamente emparejado con el conjunto de todos sus subconjuntos se produce una contradicción. Es por tanto forzoso desechar tal hipótesis. De igual forma se demuestra que incluso si un conjunto es infinito, el conjunto de todos sus subconjuntos es mayor que el conjunto original. Es posible construir una sucesión de conjuntos progresivamente mayores formando el conjunto N de todos los subconjuntos de un conjunto infinito M, luego, el conjunto P de todos los subconjuntos de N, y así sucesivamente. La sucesión no contiene un conjunto máximo.