Al-Jabr: Nacimiento y desarrollo del álgebra

¿Qué es el álgebra? Hablando a un nivel escolar, es una rama de la matemática donde a los números desconocidos se les asigna una letra, las operaciones aritméticas se representa mediante símbolos y el objetivo es deducir los valores de los números desconocidos por medio de ecuaciones. Varios textos de la antigüedad hablan sobre una cantidad desconocida para luego calcular su valor. ¿Cómo pasó la humanidad de aquellos problemas al álgebra actual? ¿Fueron primeros los símbolos o los métodos? ¿Siempre fue la ‘x’ la incógnita favorita de todos los matemáticos?

Existe evidencia, aunque no de fuentes directas, de que los babilonios ya resolvían ecuaciones complicadas en el año 2000 antes de la era común. La evidencia directa de problemas más sencillos data de 1700 años antes de la era común. Esta información viene en la forma de tablillas cuneiformes, como por ejemplo la tablilla YBC 4625, la cual tiene 11 problemas para resolver (originalmente eran 22). Un ejemplo de estos problemas es:

Existe otra tablilla babilónica, BM 13901, en la cual se enuncia una forma estándar para encontrar el valor de una incógnita, pero ahora en el contexto de ecuaciones cuadráticas. Es decir, sin tener simbología para las operaciones, los babilónicos encontraron la forma de dar soluciones a ecuaciones cuadráticas. Sin embargo, la tablilla entrega la receta de lo que debe hacer la persona, pero sin entender por qué funciona dicho método. Resulta muy probable que su forma de resolución fuese geométrica.

La palabra álgebra procede del árabe “Al-jabr”, un termino utilizado por el famoso Al-Khwarizmi, que comenzó a extender su uso en el año 820. En su obra explicaba métodos generales para resolver ecuaciones manipulando cantidades desconocidas. Este matemático antiguo utilizaba palabras para explicar sus métodos, no símbolos, pero dichos métodos son muy parecidos a los que se utilizan hoy en día. ¿Qué significa Al-jabr? Sumar cantidades iguales a ambos miembros de una ecuación.

Los babilonios sabían resolver ecuaciones cuadráticas con métodos que, en esencia, son similares a los que ocupamos hoy. El siguiente paso de los matemáticos consistió en resolver ecuaciones cúbicas. Hasta el desarrollo de los números negativos, los matemáticos clasificaban a las ecuaciones cúbicas en diversos tipos, donde sólo cambiar el signo de un coeficiente ya implicaba utilizar distintos métodos para cada una de las ecuaciones.

Los griegos utilizaban secciones cónicas para la resolución de algunas ecuaciones cúbicas, sin conocer como algo general el hecho de que al intersectar dos cónicas, los puntos de intersección están determinadas par ecuaciones de tercer o cuarto grado. Alguien que potencio esta línea de acción fue Omar Khayyam, quien alrededor del 1075 clasifico a las ecuaciones cúbicas en 14 tipos, demostrando como resolver cada una de ellas utilizando cónicas.

Las soluciones utilizando cónicas funcionaban bien, pero los matemáticos italianos del renacimiento se preguntaron si es que podían existir soluciones algebraicas para las ecuaciones cúbicas. Así, ocurrió una de las competencias matemáticas mas renombradas de la historia:

Si bien los matemáticos italianos renacentistas inventaron muchos métodos geniales, su notación dejaba mucho que desear. Se requirieron de cientos de años para llegar a la notación que conocemos actualmente. Diofanto de Alejandría, alrededor del 250, utilizaba símbolos para designar números desconocidos. Como se puede apreciar en la imagen, sus símbolos diferían de manera notable a los nuestros.

El primero de los algebristas que comenzaron a utilizar símbolos fue François Vieta, quien enunciaba algunos resultados de forma simbólica, pero que diferían mucho de la notación actual. El utilizaba consonantes mayúsculas para representar cantidades conocidas, mientras que las vocales mayúsculas eran utilizadas para representar incógnitas.

Los símbolos + y – aparecieron alrededor del siglo XV, gracias a comerciantes alemanes que buscaban distinguir artículos por exceso y por defecto. En 1557, Robert Recordé inventó el símbolo = para indicar la igualdad, debido a que, para el, no existían dos cosas mas iguales que dos líneas paralelas. Sin embargo, este signo era más largo de lo habitual, algo como: ===========.

Se deja unas imágenes para diferenciar como era la matemática antigua comparada con la nuestra, con un extracto del Ars Magna de Cardano:

¿Y el uso de la x como incógnita? El gran René Descartes comenzó a utilizar la x para designar una cantidad desconocida, notación que se extendió rápidamente por Europa y el mundo. Su notación era un poco distinta a la nuestra, pero en pequeñas variaciones, por ejemplo, para denotar al x cuadrado escribía: xx. Newton comenzó a utilizar la notación exponencial tal y como la conocemos nosotros, considerando exponentes racionales, mientras que el maestro Gauss fue quien cambió el uso de xx por x²

El álgebra nació como una forma de sistematizar problemas aritméticos, pero con el paso del tiempo, precisamente en la época de Vieta, ya había adquirido vida. Las expresiones algebraicas comenzaron a representar toda una especie de expresiones aritméticas. Una expresión como 2x+y pueden ser operados como un número, pero nunca van a representar sólo a un número en específico. De esta forma el álgebra se emancipó de la aritmética, siguiendo su propio camino en el desarrollo de la matemática.

Con los siguientes videos tendrás una idea mas completa para le pregunta ¿Para qué sirve el álgebra?