Seccion curso 1

f(x) = ax² + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax² es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es un ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática, obtendríamos siempre una curva llamada parábola.

Parábola del puente, una función cuadrática.

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática.

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax²):

Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x² ? 3x ? 5

Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = ?3x² + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Para el efecto de este conenido que se comprenda la notación xv, como el valor de la coordenada de la x en el vértice, y de manera análoga yv, como el valor de la y en el vértice.

Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro enel que son decrecientes.Si a>0, la función f(x) es creciente en el intervalo ( xv ;+ ?) , y decreciente enel intervalo (-?;xv).Si a<0, la función f(x) es creciente en el intervalo (-?;xv) , y decreciente en elintervalo (xv;- ?).

Máximo o mínimo

Si a>0 la ordenada del vértice ( yv) es el valor mínimo que alcanza la función, lotoma en xv.Si a< 0 la ordenada del vértice ( yv) es el valor máximo que alcanza la función,lo toma en xv.Se lo llama extremo.Ejemplo: Dada la función f(x)= x²+x - 3.75

Problemas de máximos y mínimos:

•Si a > 0 la función alcanza un mínimo en la ordenada del vértice de sugráfica, es decir en x = xv la función alcanza su valor mínimo yv.

•Si a < 0 la función alcanza un máximo en la ordenada del vértice de sugráfica, es decir en x = xv la función alcanza su valor máximo yv.